Jurnal Pribadi
A. Pengantar
1.
Masalah
Test hidup
adalah satu cara penting untuk mengevaluasi keandalan komponen. Di aplikasi,
satu contoh unit diuji di bawah kondisi tertentu untuk menaksir hak milik
seumur hidup dari komponen di kondisi ini. Karena akibat sering keandalan
tinggi dari komponen teruji dan waktu / merugikan batasan dari percobaan, test
hidup biasanya berakhir setelah satu spesifik sejumlah waktu waktu lalu (waktu
atau Jenis aku memeriksa) atau setelah satu angka spesifik dari kegagalan telah
diamati (kegagalan atau Jenis II. pemeriksaan). Perencanaan saksama untuk
berapa banyak unit adalah diuji dan panjang dari percobaan (untuk Mengetik II.
pemeriksaan, berapa banyak kegagalan adalah diamati) penting untuk memperoleh
mungkin maksimum keterangan dengan biaya minimum kemungkinan, secara rata-rata.
Sering
penggunaan dari satu test hidup adalah untuk menaksir satu spesifik quantile
dari distribusi seumur hidup, sebagai contoh, memasuki . 10 quantile. Satu test hidup kemudian dapat direncanakan
sesuai dengan estimasi dibutuhkan ketepatan untuk quantile ini. Weibull dan
distribusi lognormal sesuai untuk mendeskripsikan variasi pada seumur hidup
dari banyak jenis berbeda komponen. Pada pendekatan tradisional ke masalah
perencanaan test, gol adalah untuk menaksir tidak diketahui memperbaiki
parameter dan “ perencanaan menghargai dari parameter distribusi dipergunakan
untuk merencanakan penggunaan (cf. Bab 10 Meeker dan Escobar 1998). Bayesian
mendekati memunculkan secara alami ketika keterangan ada tersedia berdasar
purbasangka untuk merencanakan dan estimasi. Ini terjadi sering pada
keadaan praktis ketika di situ ada tersedia pengetahuan rancang-bangun atau
phisik, atau pengalaman sebelumnya dengan komponen serupa mempunyai kegagalan
yang sama mekanisme. Perencanaan saksama dengan keterangan utama relevan dapat
mengurangi sumber daya percobaan yang dibutuhkan. Untuk membukukan distribusi
locationscale seperti theWeibull dan distribusi lognormal, Bayesian kiat
biasanya
menghasilkan tidak ada bentuk tertutup untuk kesimpulan pada kriteria
perencanaan, sebagian karena akibat pemeriksaan. Metode numeria harus
diterapkan sebagai ganti. Untuk distribusi Weibull dengan satu parameter bentuk
tertentu, bagaimanapun, menutup bentuk berada kalau standar menghubungkan
distribusi utama dipergunakan. Bentuk tertentu parameter kasus Weibull adalah
penting pada aplikasi praktis tertentu. Bagian 2.3 Nordman dan Meeker (2002)
deskripsikan beberapa aplikasi dimana ini berada sesuai untuk mempergunakan
satu parameter bentuk tertentu. Antara lain, distribusi Raleigh bersifat
exponen adalah kasus istimewa ketika Weibull membentuk parameter diberikan
seperti sesuatu dan dua, berturut-turut. Juga, solusi perencanaan untuk kasus
khusus ini menyediakan pengertian yang mendalam berguna ke dalam lebih masalah
perencanaan silang selimpat dimana Weibull membentuk parameter adalah tidak
diketahui. Di kertas ini, kita mendeskripsikan pendekatan Bayesian dari
perencanaan test hidup untuk distribusi Weibull dengan parameter bentuk
tertentu, dan sediakan bentuk tertutup untuk kriteria perencanaan. Merencanakan
solusi digambarkan dengan contoh kwantitatip.
2.
Ikhtisar
Sisa dari
kertas ini diorganisir sebagai berikut.
·
Bagian
2 ulasan tadi menerbitkan pekerjaan terkait.
·
Bagian
3 mendeskripsikan Bayesian merencanakan masalah untuk distribusi Weibull dengan
satu parameter bentuk tertentu, dengan satu penjabaran utama hubung.
·
Bagian
4 contoh kwantitatip hadiah yang menggambarkan Bayesian merencanakan solusi dan
perbandingan dengan akibat oleh bukan Bayesian dekati.
·
Bagian
5 memberikan beberapa berkomentar simpul dan mendeskripsikan area untuk
penelitian perdagangan berjangka.
B.
Pekerjaan terkait
Hasil
berjumlah banyak seumur hidup uji perencanaan ada tersedia pada statistik dan daftar
pustaka rancang-bangun. Banyak bukan pendekatan Bayesian telah dikembangkan
untuk bahan pertimbangan berbeda test hidup. Gupta (1962), Grubbs (1973), dan
Narula dan Li (1975) mendeskripsikan penentuan ukuran contoh cara untuk
kemungkinan kesalahan pengontrol di pengujian hipotesis dari parameter
distribusi hidup dan fungsi dari parameter distribusi. Meeker dan Nelson (1976)
deskripsikan teori asymptotic dan aplikasi untuk perencanaan satu test hidup
untuk menaksir satu Weibull Quantile dengan satu ketepatan ditetapkan. Meeker
dan Nelson (1977) juga hadiah teori umum dan aplikasi untuk penentuan dekat
ukuran contoh dalam hidup uji perencanaan ketika fungsi lain dari parameter
Weibull adalah ditaksir. Danziger (1970) mendeskripsikan perencanaan test hidup
untuk penaksiran tingkat bahaya dari satu distribusi Weibull dengan satu
parameter bentuk tertentu. Meeker, Escobar, dan Bukit (1992) sajikan teori
asymptotic dan cara untuk perencanaan satu test hidup untuk menaksir satu
Weibull meresikokan fungsi, ketika semua parameter adalah tidak diketahui .
Mempergunakan
keterangan utama dan ilmu pengetahuan tentang teknik Bayesian dalam hidup uji
perencanaan telah dieksplorasi pada pekerjaan sebelumnya. Thyregod (1975)
kembangkan satu Jenis dekat penggunaan cara II. pemeriksaan dengan satu
distribusi hidup bersifat exponen. Caranya mempergunakan satu biaya mendasari
kegunaan berfungsi dan satu muaian Taylor di sekitar arti ditaksir untuk
menggabungkan keterangan utama. Zaher, Ismail, dan Bahaa (1996) sajikan hidup
test Bayesian metode perencanaan untuk distribusi Weibull dengan satu parameter
bentuk dikenal di bawah Jenis aku memeriksa, mempergunakan satu kriteria
berlandaskan mengharapkan keuntungan dari keterangan Shannon. Penggunaan
terbuat dari kertas perkiraan dan solusi kwantitatip untuk memperoleh rencana
uji.
Lebih
baru-baru ini, di sana telah satu rangkaian terbuat dari kertas mendeskripsikan
teori Bayesian, kiat, dan bahasan dari contoh umum masalah penentuan ukuran.
Antara lain, Joseph, Wolfson dan Berger (1995a,b ) menyediakan tiga kriteria
Bayes berlandaskan kepadatan pantat paling tinggi (HPD) interval untuk
penentuan ukuran contoh masalah dan menggambarkan hitungan untuk proporsi
binomial. Bayesian ini pendekatan adalah berlandaskan ketepatan dari estimasi
interval untuk satu kuantitas tertentu dari daya tarik. Lindley (1997) sediakan
satu sepenuhnya Bayesian perlakuan untuk masalah ukuran contoh berlandaskan
satu fungsi kegunaan, dan bandingkan cara dengan kriteria Bayes lain
berlandaskan interval ketepatan estimasi, khususnya, dengan panjang rata-rata
kriteria (ALC) diajukan oleh Joseph, Wolfson dan Berger (1995a,b ). Pham Gia
(1997) buat perbandingan lagi di antara ini dua kriteria macam-macam, terpencil
perbedaan dan persamaan, dan pembuatan satu upaya untuk baiknya cocok mereka
dengan mempergunakan satu fungsi kegunaan untuk kriteria ALC. Joseph dan
Wolfson (1997) diskusikan keuntungan dan kerugian dari penggunaan ini dua
kriteria macam-macam dengan satu penekanan pada aspek praktis.
Bernardo (1997)
gambarkan teoretis keputusan pendekatan Bayesian disarankan oleh Lindley (1997)
pada kasus tertentu dimana kesimpulan berada lihat sebagai satu masalah
keputusan dengan satu ruang aksi terdiri dari kelas dari distribusi mungkin
dari kuantitas relevan dan fungsi kegunaan adalah satu score logaritmis. Adcock
(1997) bantah bahwa ini selalu perlu ke penggunaan fungsi kegunaan pada satu
Bayesian mendekati dan, oleh contoh, pertunjukan, untuk beberapa kasus,
kesamaan dari fungsi kegunaan dan panjang rata-rata Bayesian prosedur.
C.
Merencanakan
masalah
1.
Model
dan Estimasi Bayes
Seandainya itu
seumur hidup dari unit diuji mempunyai satu Weibull( η, β ) distribusi dengan pdf
exp
dimana η
adalah skala
tidak diketahui parameter dan β adalah bentuk tertentu parameter. Di sini kita
mempertimbangkan perencanaan test hidup masalah ketika test adalah Jenis II.
tersensor dengan ukuran contoh n dan angka tetap dari kegagalan r .
Kemungkinan adalah
L ( β, η ; t ) =
Exp ,
dimana t (
i ) adalah i mengorder
seumur hidup dan
adalah “ total
waktu ditransformasikan pada test ” pada β -daya skala. Mengasumsikan juga utama itu keterangan pada
parameter skala dari distribusi seumur hidup ada tersedia. Biar θ
= η β tandakan skala ditransformasikan parameter dari seumur hidup
meniru β -daya skala. Satu distribusi gama
terbalik IG( a, b ) untuk θ sediakan satu penyajian lentur utama hubung untuk keterangan
utama, dan kepadatan utama adalah
ω ( θ |a, b )
= Exp
(1)
dimana
hyperparameters satu> Memasuki
dan b> Memasuki diberikan. Di
aplikasi praktis dengan keterangan utama informatif pada Weibull meskalakan
parameter η = θ 1 /β , perbedaan utama biasanya terbatas, siratkan yang satu> 2 /β . Setidak-tidaknya, distribusi pantat dari θ
adalah
f ( θ | t , β, a, b ) =
~ IG( a + r,TTT β
+ b ) (2)
yaitu satu
distribusi gama terbalik. Ketika a + r> 2, perbedaan pantat adalah terbatas. Ini
memaksudkan bahwa dengan satu angka cukup dari kegagalan( r ) percobaan
akan menyediakan satu pantat dengan perbedaan terbatas, bahkan jika dimana
perbedaan utama tidak berada (yaitu., satu
= 2 /β ). Estimasi Bayes dari apapun fungsi
dari parameter tidak diketahui θ dapat didasari di sini pantat distribusi dari θ .
2.
Perencanaan
Berlandaskan Ketepatan dari satu Quantile
Satu biasanya
metrik keandalan terpakai adalah p quantile dari distribusi seumur
hidup,
t
p = [ - θ log (1 - p )] 1 /β . (3)
Kita
mengajukan dua jurusan dari perencanaan dengan mempertimbangkan ketepatan
ketika mempergunakan Bayes estimasi dari t p .
a.
Kriteria berlandaskan satu contoh besar
mendekati faktor ketepatan pantat (LSAPPF)
Ketika
mempergunakan satu perkiraan contoh besar (misalnya., di lebih masalah silang
selimpat untuk yang mana menutup solusi bentuk adalah tidak tersedia), hitungan
dari ketepatan untuk estimat ing satu kuantitas positif seperti t p adalah
sering terlaksana pada skala kayu balok. Di contoh besar, kredibilitas pantat
interval untuk t p dapat diekspresikan, kira-kira, seperti[ t p /R, t
p ×R ], dimana t p adalah Bayes nilaian dari t p dan R adalah
satu interval kredibilitas pantat faktor ketepatan
R = exp (4 )
dan z 1
- α/ 2 adalah 1 - α/ 2
quantile dari distribusi normal standar. Di sini R melayani sebagai satu
metrik untuk ketepatan estimasi. Dari distribusi pantat dari θ
di (2 ),
Var posterior
(log t p ) = Var posterior (log θ )
= Var posterior
= β 2 ψ _ ( a + r )
(5)
dimana ψ _ ( z
) = dψ ( z ) /dz adalah polygamma berfungsi, ψ (
z ) = Γ _ ( z ) / Γ( z ) adalah digamma berfungsi, dan Γ( z
) adalah fungsi gama. Pembenaran dari
ganggu terakhir (5 ) adalah mengalah Apendiks. Mengombinasikan (4 ) dan (5 )
berikan
R = 1 /β
Catat tersebut
R menyesuaikan hanya pada α ,
r , β
dan
hyperparameter satu tetapi bukan pada data. Dengan demikian R dapat
dipergunakan sebagai satu kriteria untuk perencanaan test. Karena ini adalah
angka dari kegagalan r rada dibandingkan ukuran contoh n itu
pengaruh ketepatan dari estimasi dari t p , angka dari kegagalan dapat dipilih sebelum
percobaan untuk mengontrol ketepatan dari estimasi dari p quantile dalam
kaitan dengan R , sebagai satu fungsi dari utama tertentu keterangan.
Ukuran contoh n dapat dipilih berlandaskan pada saat availabilitas waktu
dan biaya bahan pertimbangan (dengan batasan r = n ), dimana test idaman
panjang akan lebih pendek untuk lebih besar n . Juga catatan tersebut R
jangan bergantung kepada nilai dari p , sehingga itu solusi
perencanaan jadi sama bagi seluruh quantiles dari distribusi seumur hidup.
b.
Kriteria berlandaskan satu pantat relatif jitu
interval kredibilitas
panjang
(ERPCIL)
Satu
kredibilitas interval Bayes untuk t p itu tidak bergantung kepada contoh
besar normal perkiraan dapat dibangun secara langsung dari distribusi pantat.
Biar L α ( t p | t ) tandakan
panjang dari 100 (1 - α )% interval kredibilitas dari pantat distribusi dari t p .
Kemudian mempergunakan distribusi pantat dari θ
di (2 ),
L α ( t p | t ) = 1 /β
L α ( θ 1 /β | t )
=1 /β (6)
dimana :
dan q gama (
α/ 2;
satu + r ) adalah α/ 2 quantile dari distribusi kemungkinan gama dengan parameter
bentuk( satu + r ) dan
parameter skala unit. Kredibilitas pantat jitu ini panjang interval bergantung
kepada data melalui TTT β , nilai dari p , dan keduanya
utama hyperparameters satu dan b . Ketepatan estimasi dari satu
kuantitas positif seperti t p jadilah lebih layak ditetapkan sehubungan
dengan nilai dari t p untuk ditaksir. Metrik ketepatan relatif seperti
itu adalah
(7)
dimana e( t
p | t ) dievaluasi sehubungan dengan distribusi pantat dari θ
(2 ),
berlandaskan hubungan (3 ) di antara t p dan θ . Karena metrik di (8 ) tidak bergantung kepada data, ini
dapat dipergunakan sebagai satu kriteria perencanaan. Merencanakan solusi dapat
diperoleh sesuai dengan nilai dari ditetapkan kriteria ini oleh experimenter.
Serupa dengan kriteria LSAPPF di (6 ), kriteria ini bergantung kepada angka
dari kegagalan r , rada dibandingkan ukuran contoh n .
Juga, solusi perencanaan tidak bergantung kepada p , quantile tertentu.
c.
kasus
distribusi Bersifat Exponen
Distribusi
bersifat exponen, sebagai kasus istimewa dari distribusi Weibull dengan
memberikan bentuk parameter β = 1, punya tertentu berikut bentuk dari kriteria di (6 ) dan
di (8 ).
• Kriteria LSAPPF:
R = exp
(8)
• Kriteria ERPCIL:
( a + r-1) (9)
dimana
D.
Contoh
Kwantitatip
Penggunaan
bagian ini contoh kwantitatip untuk menggambarkan perencanaan test hidup
prosedur memperoleh pada bagian sebelumnya. Kita juga menggambarkan penyesuaian
dari rencana uji Bayes ketika keterangan utama samar-samar ke rencana uji dari
satu bukan Bayesian dekati.
Seandainya itu
satu experimenter tertarik di penaksiran satu quantile dari distribusi seumur
hidup dari satu komponen spesifik, dan itu ketepatan estimasi adalah
berlandaskan satu 95% taraf kredibilitas( α
= 0 . 05). Asumsikan bahwa seumur hidup dari komponen yang punya
satu distribusi Weibull, dan parameter bentuk β
dari
distribusi diberikan, tapi itu parameter skala η
adalah tidak
diketahui. Sebagai tambahan, asumsikan utama itu keterangan pada parameter
skala η ada tersedia sebelum percobaan, ditetapkan dalam kaitan
dengan satu distribusi utama dengan arti μ η
dan simpangan
baku sd η . Dengan terbalik gamm menghubungkan
spesifikasi utama dari θ = η β
di (1 ),
hubungan di antara hyperparameters utama( a, b ) dan μ η
dan sd η
adalah
cv
η =
(10)
μ η
= b 1 /β
(11)
dimana cv η
= sd η /μ η
adalah
koefisien dari variasi (CV) dari distribusi utama untuk η . Catat bahwa hyperparameter utama satu adalah satu
fungsi dari utama cv η (dan tertentu Weibull
membentuk parameter β ) hanyalah. Di umum, hanyalah solusi
kwantitatip dari satu dan b dapat ditemukan, tapi untuk
distribusi bersifat exponen( β = 1 ), hubungan ini mengurangi ke
a =
b =
.
Untuk
distribusi Weibull, Tabel 1 memberikan nilai dari( a, b ) untuk beberapa
kombinasi dari β dan cv η , ketika μ η
= 1. Hidup
menguji prosedur perencanaan disajikan pada bagian sebelumnya akan digambarkan di bawah kondisi
kwantitatip ini.