jurnal

Jurnal Pribadi

A.       Pengantar

1.         Masalah

Test hidup adalah satu cara penting untuk mengevaluasi keandalan komponen. Di aplikasi, satu contoh unit diuji di bawah kondisi tertentu untuk menaksir hak milik seumur hidup dari komponen di kondisi ini. Karena akibat sering keandalan tinggi dari komponen teruji dan waktu / merugikan batasan dari percobaan, test hidup biasanya berakhir setelah satu spesifik sejumlah waktu waktu lalu (waktu atau Jenis aku memeriksa) atau setelah satu angka spesifik dari kegagalan telah diamati (kegagalan atau Jenis II. pemeriksaan). Perencanaan saksama untuk berapa banyak unit adalah diuji dan panjang dari percobaan (untuk Mengetik II. pemeriksaan, berapa banyak kegagalan adalah diamati) penting untuk memperoleh mungkin maksimum keterangan dengan biaya minimum kemungkinan, secara rata-rata.

Sering penggunaan dari satu test hidup adalah untuk menaksir satu spesifik quantile dari distribusi seumur hidup, sebagai contoh, memasuki . 10 quantile. Satu test hidup kemudian dapat direncanakan sesuai dengan estimasi dibutuhkan ketepatan untuk quantile ini. Weibull dan distribusi lognormal sesuai untuk mendeskripsikan variasi pada seumur hidup dari banyak jenis berbeda komponen. Pada pendekatan tradisional ke masalah perencanaan test, gol adalah untuk menaksir tidak diketahui memperbaiki parameter dan “ perencanaan menghargai dari parameter distribusi dipergunakan untuk merencanakan penggunaan (cf. Bab 10 Meeker dan Escobar 1998). Bayesian mendekati memunculkan secara alami ketika keterangan ada tersedia berdasar purbasangka untuk merencanakan dan estimasi. Ini terjadi sering pada keadaan praktis ketika di situ ada tersedia pengetahuan rancang-bangun atau phisik, atau pengalaman sebelumnya dengan komponen serupa mempunyai kegagalan yang sama mekanisme. Perencanaan saksama dengan keterangan utama relevan dapat mengurangi sumber daya percobaan yang dibutuhkan. Untuk membukukan distribusi locationscale seperti theWeibull dan distribusi lognormal, Bayesian kiat

biasanya menghasilkan tidak ada bentuk tertutup untuk kesimpulan pada kriteria perencanaan, sebagian karena akibat pemeriksaan. Metode numeria harus diterapkan sebagai ganti. Untuk distribusi Weibull dengan satu parameter bentuk tertentu, bagaimanapun, menutup bentuk berada kalau standar menghubungkan distribusi utama dipergunakan. Bentuk tertentu parameter kasus Weibull adalah penting pada aplikasi praktis tertentu. Bagian 2.3 Nordman dan Meeker (2002) deskripsikan beberapa aplikasi dimana ini berada sesuai untuk mempergunakan satu parameter bentuk tertentu. Antara lain, distribusi Raleigh bersifat exponen adalah kasus istimewa ketika Weibull membentuk parameter diberikan seperti sesuatu dan dua, berturut-turut. Juga, solusi perencanaan untuk kasus khusus ini menyediakan pengertian yang mendalam berguna ke dalam lebih masalah perencanaan silang selimpat dimana Weibull membentuk parameter adalah tidak diketahui. Di kertas ini, kita mendeskripsikan pendekatan Bayesian dari perencanaan test hidup untuk distribusi Weibull dengan parameter bentuk tertentu, dan sediakan bentuk tertutup untuk kriteria perencanaan. Merencanakan solusi digambarkan dengan contoh kwantitatip.

2.       Ikhtisar 

Sisa dari kertas ini diorganisir sebagai berikut.

·         Bagian 2 ulasan tadi menerbitkan pekerjaan terkait.

·         Bagian 3 mendeskripsikan Bayesian merencanakan masalah untuk distribusi Weibull dengan satu parameter bentuk tertentu, dengan satu penjabaran utama hubung.

·         Bagian 4 contoh kwantitatip hadiah yang menggambarkan Bayesian merencanakan solusi dan perbandingan dengan akibat oleh bukan Bayesian dekati.

·         Bagian 5 memberikan beberapa berkomentar simpul dan mendeskripsikan area untuk penelitian perdagangan berjangka.

B.        Pekerjaan terkait

Hasil berjumlah banyak seumur hidup uji perencanaan ada tersedia pada statistik dan daftar pustaka rancang-bangun. Banyak bukan pendekatan Bayesian telah dikembangkan untuk bahan pertimbangan berbeda test hidup. Gupta (1962), Grubbs (1973), dan Narula dan Li (1975) mendeskripsikan penentuan ukuran contoh cara untuk kemungkinan kesalahan pengontrol di pengujian hipotesis dari parameter distribusi hidup dan fungsi dari parameter distribusi. Meeker dan Nelson (1976) deskripsikan teori asymptotic dan aplikasi untuk perencanaan satu test hidup untuk menaksir satu Weibull Quantile dengan satu ketepatan ditetapkan. Meeker dan Nelson (1977) juga hadiah teori umum dan aplikasi untuk penentuan dekat ukuran contoh dalam hidup uji perencanaan ketika fungsi lain dari parameter Weibull adalah ditaksir. Danziger (1970) mendeskripsikan perencanaan test hidup untuk penaksiran tingkat bahaya dari satu distribusi Weibull dengan satu parameter bentuk tertentu. Meeker, Escobar, dan Bukit (1992) sajikan teori asymptotic dan cara untuk perencanaan satu test hidup untuk menaksir satu Weibull meresikokan fungsi, ketika semua parameter adalah tidak diketahui .

Mempergunakan keterangan utama dan ilmu pengetahuan tentang teknik Bayesian dalam hidup uji perencanaan telah dieksplorasi pada pekerjaan sebelumnya. Thyregod (1975) kembangkan satu Jenis dekat penggunaan cara II. pemeriksaan dengan satu distribusi hidup bersifat exponen. Caranya mempergunakan satu biaya mendasari kegunaan berfungsi dan satu muaian Taylor di sekitar arti ditaksir untuk menggabungkan keterangan utama. Zaher, Ismail, dan Bahaa (1996) sajikan hidup test Bayesian metode perencanaan untuk distribusi Weibull dengan satu parameter bentuk dikenal di bawah Jenis aku memeriksa, mempergunakan satu kriteria berlandaskan mengharapkan keuntungan dari keterangan Shannon. Penggunaan terbuat dari kertas perkiraan dan solusi kwantitatip untuk memperoleh rencana uji.

Lebih baru-baru ini, di sana telah satu rangkaian terbuat dari kertas mendeskripsikan teori Bayesian, kiat, dan bahasan dari contoh umum masalah penentuan ukuran. Antara lain, Joseph, Wolfson dan Berger (1995a,b ) menyediakan tiga kriteria Bayes berlandaskan kepadatan pantat paling tinggi (HPD) interval untuk penentuan ukuran contoh masalah dan menggambarkan hitungan untuk proporsi binomial. Bayesian ini pendekatan adalah berlandaskan ketepatan dari estimasi interval untuk satu kuantitas tertentu dari daya tarik. Lindley (1997) sediakan satu sepenuhnya Bayesian perlakuan untuk masalah ukuran contoh berlandaskan satu fungsi kegunaan, dan bandingkan cara dengan kriteria Bayes lain berlandaskan interval ketepatan estimasi, khususnya, dengan panjang rata-rata kriteria (ALC) diajukan oleh Joseph, Wolfson dan Berger (1995a,b ). Pham Gia (1997) buat perbandingan lagi di antara ini dua kriteria macam-macam, terpencil perbedaan dan persamaan, dan pembuatan satu upaya untuk baiknya cocok mereka dengan mempergunakan satu fungsi kegunaan untuk kriteria ALC. Joseph dan Wolfson (1997) diskusikan keuntungan dan kerugian dari penggunaan ini dua kriteria macam-macam dengan satu penekanan pada aspek praktis.

Bernardo (1997) gambarkan teoretis keputusan pendekatan Bayesian disarankan oleh Lindley (1997) pada kasus tertentu dimana kesimpulan berada lihat sebagai satu masalah keputusan dengan satu ruang aksi terdiri dari kelas dari distribusi mungkin dari kuantitas relevan dan fungsi kegunaan adalah satu score logaritmis. Adcock (1997) bantah bahwa ini selalu perlu ke penggunaan fungsi kegunaan pada satu Bayesian mendekati dan, oleh contoh, pertunjukan, untuk beberapa kasus, kesamaan dari fungsi kegunaan dan panjang rata-rata Bayesian prosedur.

C.       Merencanakan masalah

1.         Model dan Estimasi Bayes

Seandainya itu seumur hidup dari unit diuji mempunyai satu Weibull( η, β ) distribusi dengan pdf

            exp 

dimana η  adalah skala tidak diketahui parameter dan β  adalah bentuk tertentu parameter. Di sini kita mempertimbangkan perencanaan test hidup masalah ketika test adalah Jenis II. tersensor dengan ukuran contoh n dan angka tetap dari kegagalan r . Kemungkinan adalah

L ( β, η ;  t ) =        Exp ,

dimana t ( i )  adalah i mengorder seumur hidup dan

adalah “ total waktu ditransformasikan pada test ” pada β -daya skala. Mengasumsikan juga utama itu keterangan pada parameter skala dari distribusi seumur hidup ada tersedia. Biar θ  =  η β  tandakan skala ditransformasikan parameter dari seumur hidup meniru β -daya skala. Satu distribusi gama terbalik IG( a, b ) untuk θ  sediakan satu penyajian lentur utama hubung untuk keterangan utama, dan kepadatan utama adalah

ω ( θ |a, b ) =    Exp                                                                                                                     (1)

dimana hyperparameters satu>  Memasuki dan b>  Memasuki diberikan. Di aplikasi praktis dengan keterangan utama informatif pada Weibull meskalakan parameter η  =  θ 1 /β , perbedaan utama biasanya terbatas, siratkan yang satu>  2 /β . Setidak-tidaknya, distribusi pantat dari θ  adalah

f ( θ | t , β, a, b ) =

                              ~  IG( a + r,TTT β  +  b )                                                                                                             (2)

yaitu satu distribusi gama terbalik. Ketika a + r>  2, perbedaan pantat adalah terbatas. Ini memaksudkan bahwa dengan satu angka cukup dari kegagalan( r ) percobaan akan menyediakan satu pantat dengan perbedaan terbatas, bahkan jika dimana perbedaan utama tidak berada (yaitu.,  satu = 2 /β ). Estimasi Bayes dari apapun fungsi dari parameter tidak diketahui θ  dapat didasari di sini pantat distribusi dari θ .

2.       Perencanaan Berlandaskan Ketepatan dari satu Quantile

Satu biasanya metrik keandalan terpakai adalah p quantile dari distribusi seumur hidup,

t p = [ - θ log (1 - p )] 1 /β .                                                                                                                                      (3)

Kita mengajukan dua jurusan dari perencanaan dengan mempertimbangkan ketepatan ketika mempergunakan Bayes estimasi dari t p .

a.         Kriteria berlandaskan satu contoh besar mendekati faktor ketepatan pantat (LSAPPF)

Ketika mempergunakan satu perkiraan contoh besar (misalnya., di lebih masalah silang selimpat untuk yang mana menutup solusi bentuk adalah tidak tersedia), hitungan dari ketepatan untuk estimat ing satu kuantitas positif seperti t p adalah sering terlaksana pada skala kayu balok. Di contoh besar, kredibilitas pantat interval untuk t p dapat diekspresikan, kira-kira, seperti[ t p /R, t p ×R ], dimana t p adalah Bayes nilaian dari t p dan R adalah satu interval kredibilitas pantat faktor ketepatan

R = exp                                                            (4 )

dan z 1 - α/ 2 adalah 1 -  α/ 2 quantile dari distribusi normal standar. Di sini R melayani sebagai satu metrik untuk ketepatan estimasi. Dari distribusi pantat dari θ  di (2 ),

Var posterior (log t p ) = Var posterior (log θ )

                               = Var posterior

                               = β 2 ψ _ ( a +  r )                                                                                                                     (5)

dimana ψ _ ( z ) =  dψ ( z ) /dz adalah polygamma berfungsi,  ψ ( z ) = Γ _ ( z ) / Γ( z ) adalah digamma berfungsi, dan Γ( z ) adalah fungsi gama. Pembenaran dari ganggu terakhir (5 ) adalah mengalah Apendiks. Mengombinasikan (4 ) dan (5 ) berikan

R =  1 /β

Catat tersebut R menyesuaikan hanya pada α ,  r ,  β  dan hyperparameter satu tetapi bukan pada data. Dengan demikian R dapat dipergunakan sebagai satu kriteria untuk perencanaan test. Karena ini adalah angka dari kegagalan r rada dibandingkan ukuran contoh n itu pengaruh ketepatan dari estimasi dari t p ,  angka dari kegagalan dapat dipilih sebelum percobaan untuk mengontrol ketepatan dari estimasi dari p quantile dalam kaitan dengan R , sebagai satu fungsi dari utama tertentu keterangan. Ukuran contoh n dapat dipilih berlandaskan pada saat availabilitas waktu dan biaya bahan pertimbangan (dengan batasan r = n ), dimana test idaman panjang akan lebih pendek untuk lebih besar n . Juga catatan tersebut R jangan bergantung kepada nilai dari p , sehingga itu solusi perencanaan jadi sama bagi seluruh quantiles dari distribusi seumur hidup.

b.         Kriteria berlandaskan satu pantat relatif jitu interval kredibilitas

panjang (ERPCIL)

Satu kredibilitas interval Bayes untuk t p itu tidak bergantung kepada contoh besar normal perkiraan dapat dibangun secara langsung dari distribusi pantat. Biar L α ( t p | t ) tandakan panjang dari 100 (1 -  α )% interval kredibilitas dari pantat distribusi dari t p . Kemudian mempergunakan distribusi pantat dari θ  di (2 ),

L α ( t p | t ) = 1 /β  L α ( θ 1 /β | t )

                              =1 /β                 (6)

dimana :

dan q gama ( α/ 2;  satu +  r ) adalah α/ 2 quantile dari distribusi kemungkinan gama dengan parameter bentuk( satu +  r ) dan parameter skala unit. Kredibilitas pantat jitu ini panjang interval bergantung kepada data melalui TTT β , nilai dari p , dan keduanya utama hyperparameters satu dan b . Ketepatan estimasi dari satu kuantitas positif seperti t p jadilah lebih layak ditetapkan sehubungan dengan nilai dari t p untuk ditaksir. Metrik ketepatan relatif seperti itu adalah

                                                                       (7)

dimana e( t p | t ) dievaluasi sehubungan dengan distribusi pantat dari θ  (2 ), berlandaskan hubungan (3 ) di antara t p dan θ . Karena metrik di (8 ) tidak bergantung kepada data, ini dapat dipergunakan sebagai satu kriteria perencanaan. Merencanakan solusi dapat diperoleh sesuai dengan nilai dari ditetapkan kriteria ini oleh experimenter. Serupa dengan kriteria LSAPPF di (6 ), kriteria ini bergantung kepada angka dari kegagalan r ,  rada dibandingkan ukuran contoh n . Juga, solusi perencanaan tidak bergantung kepada p , quantile tertentu.

c.        kasus distribusi Bersifat Exponen

Distribusi bersifat exponen, sebagai kasus istimewa dari distribusi Weibull dengan memberikan bentuk parameter β  = 1, punya tertentu berikut bentuk dari kriteria di (6 ) dan di (8 ).

•   Kriteria LSAPPF:

R = exp                                                                                                                (8)

•   Kriteria ERPCIL:

( a + r-1)                                                                                               (9)

dimana

D.       Contoh Kwantitatip

Penggunaan bagian ini contoh kwantitatip untuk menggambarkan perencanaan test hidup prosedur memperoleh pada bagian sebelumnya. Kita juga menggambarkan penyesuaian dari rencana uji Bayes ketika keterangan utama samar-samar ke rencana uji dari satu bukan Bayesian dekati.

Seandainya itu satu experimenter tertarik di penaksiran satu quantile dari distribusi seumur hidup dari satu komponen spesifik, dan itu ketepatan estimasi adalah berlandaskan satu 95% taraf kredibilitas( α  = 0 . 05). Asumsikan bahwa seumur hidup dari komponen yang punya satu distribusi Weibull, dan parameter bentuk β  dari distribusi diberikan, tapi itu parameter skala η  adalah tidak diketahui. Sebagai tambahan, asumsikan utama itu keterangan pada parameter skala η  ada tersedia sebelum percobaan, ditetapkan dalam kaitan dengan satu distribusi utama dengan arti μ η  dan simpangan baku sd η . Dengan terbalik gamm menghubungkan spesifikasi utama dari θ  =  η β  di (1 ), hubungan di antara hyperparameters utama( a, b ) dan μ η  dan sd η  adalah

cv η  =                                                                                                                   (10)

           μ η  =  b 1 /β                                                                                                                                    (11)

dimana cv η  =  sd η /μ η  adalah koefisien dari variasi (CV) dari distribusi utama untuk η . Catat bahwa hyperparameter utama satu adalah satu fungsi dari utama cv η   (dan tertentu Weibull membentuk parameter β ) hanyalah. Di umum, hanyalah solusi kwantitatip dari satu dan b dapat ditemukan, tapi untuk distribusi bersifat exponen( β  = 1 ), hubungan ini mengurangi ke

a =

b =

.

Untuk distribusi Weibull, Tabel 1 memberikan nilai dari( a, b ) untuk beberapa kombinasi dari β   dan cv η , ketika μ η  = 1. Hidup menguji prosedur perencanaan disajikan pada bagian sebelumnya   akan digambarkan di bawah kondisi kwantitatip ini.